LÓGICA MATEMÁTICA.
Esta pagina fue diseñada como un auxiliar y herramienta para aquellos que esten interesados en reforzar y tener mas conocimientos sobre las matematicas discretas. De antemano esperamos que el material que se presenta sea util sin olvidar que el fin que percibe es meramente educativo y esperamos que sirva para comprender los puntos escenciales de esta materia.
Introducción 
Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no ambas.
Las proposiciones serán expresadas como P, Q, .... y algunas veces son llamadas átomos o fórmulas atómicas. Una proposición compuesta se forma por una proposición modificada por la palabra no o por conectar sentencias con las palabras y, o, si ... entonces, si y solo si.
Los conectivos lógicos se simbolizan por:
Negación.
Conjunción.
Disyunción.
Implicación.
Equivalencia.
Si Juan es estudiante entonces no ha presentado su examen de titulación.(
)
A las proposiciones compuestas se les llama formulas bien formadas. (wffs).
Definición I
El alfabeto proposicional consiste de lo siguiente:
- Un conjunto de variables denominadas átomos: P, Q, R,...
- Un conjunto de conectivos lógicos (Negación, Conjunción, Disyunción, Implicación y Equivalencia).
- Los símbolos de paréntesis.
Definición II
Una fórmula bien formada se define como:
- Una fórmula atómica es una fórmula.
es una fórmula también lo será 
.
- Si
y 
son fórmulas entonces la la conjunción, disyunción,implicación y equivalencia de 
y 
también lo será. - Una expresiónes una fórmula si y únicamente si se puede demostrar por las anteriores condiciones.
La implicación recibe el nombre de fórmula condicional y la equivalencia el de fórmula bicondicional.
La jerarquía de los conectivos lógicos se aplica de la siguiente forma:
Negación,Conjunción, Disyunción, Condicional y bicondicional.
EJEMPLO 1
Definición III
Una condición de verdad (T) o falsedad (F) asignada a una fórmula la definimos como valor de verdad.
TABLAS DE VERDAD
Al resultado de aplicar valores de verdad (T) o falso(F) en cada expresión atómica se le denomina tablas de la verdad.
Definición IV
Cualquier renglón en una tabla de verdad para una fórmula dada P se le llama interpretación de P.
jean paul gonazales padilla
leonardo
arturo
Las Proporciones
Una proporción es una igualdad entre dos razones , y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.
Por ejemplo:
2 = 6
5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 =
5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8
x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2 · 16 = 8 · x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x
8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
2 = 8
4 16
Aplicación:
Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?
Hagamos una proporción:
harina = harina
líquido líquido
3 tazas harina = 13 tazas
1 taza líquido x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.
3 = 13
1 x
Ahora, se multiplica cruzado.
3 · x = 13 · 1
3x = 13
Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.
3x = 13
3 3
x = 4.3
La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos.
Otra aplicación:
Mi vecina ahora quiere hacer sorullitos, y ya sabemos que ella utiliza 3 tazas de harina por 1 taza de líquido. Ella ya tiene preparado 5.5 tazas de líquido. ¿Cuántas tazas de harina necesita para hacer los sorullitos?
harina = harina
líquido líquido
3 tazas harina = x tazas harina
1 taza líquido 5.5 tazas líquido
3 = x
1 5.5
3 · 5.5 = x · 1
16.5 = x
Quiere decir, que para 5.5 tazas de líquido se necesitan 16.5 tazas de harina.
Proporciones utilizando por ciento
% = porción de un número
100 total del número
¿ Cuál es el 12% de 658? 12 = X
100 658 12 · 658 = 100 ·X 7896 = 100 · X 7896 = 100X
100 100 78.96 = X | Estamos buscando una porción de 658 . En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%. Al otro lado de la proporción, va la proporción y porción/total. No sabemos la porción, así que la x va arriba. Abajo va el total, que es 658. |
| ¿ Cual es el 30% de 84? 30 = X
100 84 30 · 84 = 100 · X 2520 = 100X 2520 = 100X
100 100 25.2 = X | Sabemos que el 30% se expresa 30/100. Como estamos buscando la porción de 84, la X va arriba como numerador; y el total, que es 84, va abajo como denominador. |
| ¿ El 3% de que número es 5.4? 3 = 5.4
100 X 3 · X = 5.4 · 100
3X = 540 3X = 540
3 3 X = 180 | Tenemos el 3% dado por 3/100. Vemos que 5.4 es una porción de un número que no sabemos. Así que se está buscando el total. Por eso, la x va abajo, en el denominador. |
| ¿ 85 es qué % de 180? X = 85
100 180
X · 180 = 85 · 100 180X = 8500 180X = 8500
180 180 X = 47.2 | No tenemos el porciento; y la porción es 85 y el total es 180. Así que la x va en la parte izquierda de proporción, arriba. |
